Question

【題目】已知：將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合（點D與D'為對應點），折痕為EF，連接AF.

（1）如圖1，求證：四邊形AECF為菱形；

（2）如圖2，若FC=2DF，連接AC交EF于點O，連接DO、D'O，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有等邊三角形.

（圖1） （圖2）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）△AOD，△AEF，△CEF，△COD、

【解析】（1）先證明四邊形AECF是平行四邊形，再根據AE=CE，即可證明四邊形AECF是菱形；

（2）根據等邊三角形的判定方法可判定出等邊三角形有△AEF、△CEF、△AOD、△COD′.

（1）∵將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，

∴AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠BAD=90°，AE∥CF，

∴∠CFE=∠AEF，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CF=CE，

∴AE=CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

又∵AE=CE，

∴四邊形AECF是菱形；

（2） 等邊三角形為：△AEF、△CEF、△AOD、△COD′；理由如下：

∵FC=2DF，AF=FC，

∴AF=2DF，

∵∠ADC=90°，

∴∠DAF=30°，

∴∠EAF=60°，

∵四邊形AECF是菱形，

∴AE=AF，△AEF≌△CEF，OA=OC=AC，

∴△AEF和△CEF是等邊三角形；

∵∠ADC=90°，

∴OD=AC=OA，

∵∠OAF=∠EAF=30°，

∴∠OAD=60°，

∴△AOD是等邊三角形；

∵CD′=AD=OC，OD′=AC，

∴CD′=OC=OD′，

∴△COD′是等邊三角形．