Question

【題目】閱讀下列材料，并解爺其后的問題：

我們知道，三角形的中位線平行于第一邊，且等于第三邊的一半，我們還知道，三角形的三條中位線可以將三角形分成四個全等的一角形，如圖1，若D、E、F分別是三邊的中點，則有，且

（1）在圖1中，若的面積為15，則的面積為___________；

（2）在圖2中，已知E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

（3）如圖3中，已知E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，，則四邊形EFGH的面積為___________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）5．

【解析】

（1）由三角形中位線定理得出DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，得出△DEF的面積=△ABC的面積=即可；
（2）連接BD，證出EH是△ABD的中位線，FG是△BCD的中位線，由三角形中位線定理得出EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，即可得出結論；
（3）證出EH是△ABD的中位線，FG是△BCD的中位線，由三角形中位線定理得出EH∥BD，EH=BD= ，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，證出四邊形EFGH是平行四邊形，同理：EF∥AC，EF=AC=2，證出EH⊥EF，得出四邊形EFGH是矩形，即可得出結果．

（1）解：∵D、E、F分別是△ABC三邊的中點，
則有DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，
∴△DEF的面積=△ABC的面積=；
故答案為：；
（2）證明：連接BD，如圖2所示：
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，
∴EH是△ABD的中位線，FG是△BCD的中位線，
∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（3）解：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，
∴EH是△ABD的中位線，FG是△BCD的中位線，
∴EH∥BD，EH=BD=，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
同理：EF∥AC，EF=AC=2，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四邊形EFGH是矩形，
∴四邊形EFGH的面積=EH×EF=×2=5．

故答案為：（1）；（2）見解析；（3）5．