Question

【題目】在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，點P是對角線AC上的一個動點，過點P作EF垂直于AC交AD于點E，交AB于點F，將△AEF折疊，使點A落在點A′處，當△A′CD時等腰三角形時，AP的長為_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】首先證明四邊形AEA′F是菱形，分兩種情形：①CA′=CD，②A′C=A′D分別計算即可．

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，

∵EF⊥AA′，

∴∠EPA=∠FPA=90°，

∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，

∴∠AEP=∠AFP，

∴AE=AF，

∵△A′EF是由△AEF翻折，

∴AE=EA′，AF=FA′，

∴AE=EA′=A′F=FA，

∴四邊形AEA′F是菱形，

∴AP=PA′

①當CD=CA′時，∵AA′=AC﹣CA′=3，

∴AP=AA′=．

②當A′C=A′D時，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，

∴△A′CD∽△DAC，

∴=，

∴A′C=，

∴AA=8﹣=，

∴AP=AA′=．

故答案為或．

“點睛”本題考查菱形的性質、翻折變換、等腰三角形的判斷和性質等知識，解題的關鍵是學會分類討論，不能漏解. 屬于中考常考題型.