Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，點F、E分別在邊AC、AB上，連接DE、DF，且∠AFD+∠B＝180°．

（1）求證：BD＝FD；

（2）當AF+FD＝AE時，求證：∠AFD＝2∠AED．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，由角平分線的性質得DM＝DN，角角邊證明△DMB≌△DNF，由全等三角形的性質求得BD＝FD；

（2）在AB上截取AG＝AF，連接DG．由邊角邊證△ADF≌△ADG，根據全等三角形的性質得FD＝GD，∠AFD＝∠AGD，因AF+FD＝AE，AE＝AG+GE得FD＝GD＝GE，由等腰三角形等邊對等角和三角形的外角定理得∠AGD＝2∠GED，等量代換得∠AFD＝2∠AED．

證明：（1）過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

如圖1所示：

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMB＝∠DNF＝90°，

又∵AD平分∠BAC，

∴DM＝DN，

又∵∠AFD+∠B＝180°，

∠AFD+∠DFN＝180°，

∴∠B＝∠DFN，

在△DMB和△DNF中，

∴△DMB≌△DNF（AAS）

∴BD＝FD；

（2）在AB上截取AG＝AF，連接DG．

如圖2所示，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAF＝∠DAG，

在△ADF和△ADG中．

，

∴△ADF≌△ADG（SAS）．

∴∠AFD＝∠AGD，FD＝GD

又∵AF+FD＝AE，

∴AG+GD＝AE，

又∵AE＝AG+GE，

∴FD＝GD＝GE，

∴∠GDE＝∠GED，

又∵∠AGD＝∠GED+∠GDE＝2∠GED，

∴∠AFD＝2∠AED．