Question

【題目】探索勾股定理時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決線段和(或差)的有關(guān)問題，這種方法稱為面積法．請(qǐng)你運(yùn)用面積法求解下列問題：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高．

(1)若BD＝h，M是直線BC上的任意一點(diǎn)，M到AB、AC的距離分別為h1，h2．

A、若M在線段BC上，請(qǐng)你結(jié)合圖形①證明：h1+h2＝h；

B、當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，h1，h2，h之間的關(guān)系為　 　．(請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明)

(2)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1：y＝x+6；l2：y＝﹣3x+6．若l2上的一點(diǎn)M到l1的距離是2，請(qǐng)你利用以上結(jié)論求解點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)A、證明見解析；B、h1﹣h2＝h；(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）A、如圖，連接AM，設(shè)BD=h，EM=h1，MF=h2，由于S△ABC=S△ABM+S△ACM，而EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，因此得到ACh=ABh1+ACh2，而AB=AC，因此即可證明結(jié)論；

B、可采用和A類似的方法，畫圖作輔助線，利用三角形面積公式根據(jù)S△ABC=S△ABM-S△ACM，代入化簡(jiǎn)得出h1-h2=h；
（2）由題意可知，DE=DF=10，所以△EDF是等腰三角形，
當(dāng)點(diǎn)M在線段EF上時(shí)，依據(jù)（1）中結(jié)論，由h=EO=6可以得到M到DF（即x軸）的距離也為4，此時(shí)可求得M的坐標(biāo)；
當(dāng)點(diǎn)M在射線FE上時(shí)，依據(jù)（1）中結(jié)論，由h=EO=6可以得到M到DF（即x軸）的距離也為8，此時(shí)可求得M的坐標(biāo)．

(1)證明：連接AM，

A、∵S△ABC＝S△ABM+S△ACM，EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，

∴ACh＝ABh1+ACh2，

又∵AB＝AC，

∴h＝h1+h2；

B、結(jié)論：h=h1-h2．
理由：如圖，連接MA，
∵S△ABC=ACBD=ACh，
S△ABM=ABME=ABh1，
S△ACM=ACMF=ACh2，．
又∵S△ABC=S△ABM-S△ACM，
∴ACh=ABh1-ACh2．
∵AB=AC，
∴h=h1-h2；

(2)由題意可知，DE＝DF＝10，

∴△EDF是等腰三角形，

當(dāng)點(diǎn)M在線段EF上時(shí)，依據(jù)(1)中結(jié)論，

∵h＝EO＝6，

∴M到DF(即x軸)的距離為6-2=4，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，此時(shí)可求得M，

當(dāng)點(diǎn)M在射線FE上時(shí)，依據(jù)(1)中結(jié)論，

∵h＝EO＝6，∴M到DF(即x軸)的距離為8，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為8，此時(shí)可求得M，

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．

故答案為：(1)A、證明見解析；B、h1﹣h2＝h；(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．