Question

【題目】如圖 ，在正的內部，作， ， ， 兩兩相交于， ， 三點 （， ， 三點不重合）．

（）， ， 是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明．

（）是否為正三角形？請說明理由．

（）進一步探究發現， 的三邊存在一定的等量關系，設， ， ，請探索， ， 滿足的等量關系．

Answer 1

【答案】（1）全等；（2）是正三角形；（3）．

【解析】試題分析：（1）由正三角形的性質得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，證出∠ABD=∠BCE，由ASA證明△ABD≌△BCE即可；

（2）由全等三角形的性質得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，證出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出結論；

（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性質得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出結論．

試題解析：解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF．理由如下：

∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC．∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，∴∠ABD=∠BCE．在△ABD和△BCE中，∵∠1=∠2，AB=BC，∠ABD=∠BCE，∴△ABD≌△BCE（ASA）；

（2）△DEF是正三角形．理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，∴△DEF是正三角形；

（3）作AG⊥BD于G，如圖所示，∵△DEF是正三角形，∴∠ADG=60°．在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中， ，∴ ．