Question

【題目】如圖1，AB是⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，EC切⊙O于點C，OP⊥AO交AC于點P，交EC的延長線于點D．

（1）求證：△PCD是等腰三角形；
（2）CG⊥AB于H點，交⊙O于G點，過B點作BF∥EC，交⊙O于點F，交CG于Q點，連接AF，如圖2，若sinE= ，CQ=5，求AF的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵EC切⊙O于點C，

∴OC⊥DE，

∴∠1+∠3=90°，

又∵OP⊥OA，

∴∠2+∠4=90°，

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

又∵∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

∴DP=DC，即△PCD為等腰三角形

（2）解：如圖2，連接OC、BC，

∵DE與⊙O相切于點E，

∴∠OCB+∠BCE=90°，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC+∠BCE=90°，

又∵CG⊥AB，

∴∠OBC+∠BCG=90°，

∴∠BCE=∠BCG，

∵BF∥DE，

∴∠BCE=∠QBC，

∴∠BCG=∠QBC，

∴QC=QB=5，

∵BF∥DE，

∴∠ABF=∠E，

∵sinE= ，

∴sin∠ABF= ，

∴QH=3、BH=4，

設⊙O的半徑為r，

∴在△OCH中，r2=82+（r﹣4）2，

解得：r=10，

又∵∠AFB=90°，sin∠ABF= ，

∴AF=12．

【解析】本題主要考查切線的性質、平行線的性質及三角函數的應用等知識的綜合，根據切線性質和平行線性質及垂直性質證∠BCG=∠QBC是解題的關鍵．（1）連接OC，由切線性質和垂直性質得∠1+∠3=90°、∠2+∠4=90°，繼而可得∠3=∠5得證；（2）連接OC、BC，先根據切線性質和平行線性質及垂直性質證∠BCG=∠QBC得QC=QB=5，而sinE=sin∠ABF= ，可知QH=3、BH=4，設圓的半徑為r，在RT在△OCH中根據勾股定理可得r的值，在RT△ABF中根據三角函數可得答案．