Question

【題目】在ABCD中，點P和點Q是直線BD上不重合的兩個動點，AP∥CQ，AD=BD．

（1）如圖①，求證：BP+BQ=BC；

（2）請直接寫出圖②，圖③中BP、BQ、BC三者之間的數量關系，不需要證明；

（3）在（1）和（2）的條件下，若DQ=2，DP=6，則BC=　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）BC=4或8

【解析】（1）根據平行四邊形的性質證明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：BC=BD=BP+PD=BP+BQ；

（2）圖②，證明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根據線段的和得結論；

圖③，證明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出結論；

（3）分別代入圖①和圖②條件下的BC，計算即可．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，

∵AP∥CQ，∴∠APQ=∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，

∴DP=BQ，∵AD=BD，AD=BC，∴BD=BC，∵BD=BP+DP，∴BC=BP+BQ；

（2）圖②：BQ﹣BP=BC，理由是：∵AP∥CQ，∴∠APB=∠CQD，

∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ABP=∠CDQ，∵AB=CD，∴△ABP≌△CDQ，

∴BP=DQ，∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；

圖③：BP﹣BQ=BC，理由是：同理得：△ADP≌△CBQ，∴PD=BQ，

∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；

（3）圖①，BC=BP+BQ=DQ+PD=2+6=8，圖②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=6﹣2=4，∴BC=4或8．