Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)B，不含端點(diǎn)C），連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】 ﹣2≤BE＜3
【解析】解：如圖，
由題意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC為直徑的⊙M的 上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），
∴BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E′點(diǎn)），
∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴ ，即 ，得MF= ，
∴AF= = ，
則BF=AB﹣AF= ，
∴BM= = ，
∴BE長(zhǎng)度的最小值BE′=BM﹣ME′= ﹣2，
BE最長(zhǎng)時(shí)，即E與C重合，
∵BC=3，且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，
∴BE＜3，
綜上， ﹣2≤BE＜3，
故答案為： ﹣2≤BE＜3．
由∠AEC=90°知E在以AC為直徑的⊙M的 上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），從而得BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E′點(diǎn)），作MF⊥AB于F，證△AMF∽△ABC得 ，即可知MF= 、AF= = 、BF= 、BM= ，從而得BE長(zhǎng)度的最小值BE′=BM﹣ME′= ﹣2；由BE最長(zhǎng)時(shí)即E與C重合，根據(jù)BC=3且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，得BE＜3，從而得出答案．