Question

【題目】已知：如圖，在ABCD中，O為對角線BD的中點，過點O的直線EF分別交AD，BC于E，F兩點，連結BE，DF．
（1）求證：△DOE≌△BOF；
（2）當∠DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在ABCD中，O為對角線BD的中點，

∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，

在△EOD和△FOB中

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）

（2）解：當∠DOE=90°時，四邊形BFDE為菱形，

理由：∵△DOE≌△BOF，

∴OE=OF，

又∵OB=OD

∴四邊形EBFD是平行四邊形，

∵∠EOD=90°，

∴EF⊥BD，

∴四邊形BFDE為菱形．

【解析】（1）利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；（2）首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用垂直平分線的性質得出BE=ED，即可得出答案．
【考點精析】掌握平行四邊形的性質和菱形的判定方法是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．