Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（1，0）、B（0，3）兩點，對稱軸是x=﹣1
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）動點Q從點O出發，以每秒1個單位長度的速度在線段OM上運動，同時動點M從M從O點出發以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，直接寫出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意，設拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+k，

∵點A（1，0），B（0，3）在拋物線上，

∴ ，

解得：a=﹣1，k=4，

∴拋物線的解析式為：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）

解：①∵四邊形OMPQ為矩形，

∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，

整理得：t2+5t﹣3=0，

解得t= ，由于t= ＜0，故舍去，

∴當t= 秒時，四邊形OMPQ為矩形；

②能，Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．

若△AON為等腰三角形，有三種情況：

（I）若ON=AN，如答圖1所示：

則Q為OA中點，OQ= OA= ，

∴t= ；

（II）若ON=OA，如答圖2所示：

設AQ=x，則NQ=AQtanA=3x，OQ=OA﹣AQ=1﹣x，

在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ2+NQ2=ON2，

即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=0（舍去），

∴x= ，OQ=1﹣x= ，

∴t= ；

（III）若OA=AN，如答圖3所示：

設AQ=x，則NQ=AQtanA=3x，

在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ2+AQ2=AN2，

即（x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=﹣ （舍去），

∴OQ=1﹣x=1﹣ ，

∴t=1﹣ ．

當t為 秒、 秒，（1﹣ ）秒時，△AON為等腰三角形．

【解析】（1）利用頂點式、待定系數法求出拋物線的解析式；（2）①當四邊形OMPQ為矩形時，滿足條件OM=PQ，據此列一元二次方程求解；②△AON為等腰三角形時，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計算．
【考點精析】掌握等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．