Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F，且∠MAN始終保持45°不變．

（1）求證：=；

（2）求證：AF⊥FM；

（3）請探索：在∠MAN的旋轉過程中，當∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結論，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）詳見解析；（3）∠BAM=22.5時，∠FMN=∠BAM，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據已知易證∠MAF=∠MBE，即可得A、B、M、F四點共圓，根據圓內接四邊形對角互補可求得∠AFM=90°，根據等腰直角三角形性質即求得=；（2）由（1）的結論∠AFM=90°，即可得AF⊥FM；．（3）由A、B、M、F四點共圓，可證得∠BAM=∠EFM，因為∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到=，推出BM=DN，再證明△ABM≌△ADN即可解決問題．

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠MAF=∠MBE，

∴A、B、M、F四點共圓，

∴∠ABM+∠AFM=180°，

∴∠AFM=90°，

∴∠FAM=∠FMA=45°，

∴AM=AF，

∴=．

（2）由（1）可知∠AFM=90°，

∴AF⊥FM．

（3）結論：∠BAM=22.5時，∠FMN=∠BAM

理由：∵A、B、M、F四點共圓，

∴∠BAM=∠EFM，

∵∠BAM=∠FMN，

∴∠EFM=∠FMN，

∴MN∥BD，

∴=，∵CB=DC，

∴CM=CN，

∴MB=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN，

∴∠BAM=∠DAN，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠BAM=22.5°．