Question

【題目】閱讀下面的情境對話，然后解答問題

（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

（2）在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點，CD在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E使得AE＝AD，CB＝CE．

求證：ACE是奇異三角形；

當ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．

Answer 1

【答案】解：（1）真命題

（2）在RtABC 中a2＋b2＝ c2，

∵c＞b＞a＞0

∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2

∴若RtABC是奇異三角形，一定有2b2＝c2＋ a2

∴2b2＝a2＋（a2＋b2）

∴b2＝2a2　得：b＝a

∵c2＝b2＋ a2＝3a2

∴c＝

∴a：b： c＝

(3)∵AB是⊙O的直徑ACBADB＝90°

在RtABC 中，AC2＋BC2＝AB2

在RtADB 中，AD2＋BD2＝AB2

∵點D是半圓的中點

∴＝

∴AD＝BD

∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2

∴AC2＋CB2＝2AD2

又∵CB＝CE，AE＝AD

∴AC2＝CE2＝2AE2

∴ACE是奇異三角形

由可得ACE是奇異三角形

∴AC2＝CE2＝2AE2

當ACE是直角三角形時

【解析】（1）根據“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質，求證即可；

（2）根據勾股定理與奇異三角形的性質，可得a2+b2=c2與a2+c2=2b2，用a表示出b與c，即可求得答案；

（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質即可證得；

②利用（2）中的結論，分別從AC：AE：CE＝去分析，即可求得結果．