Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+4與y軸交于點A，與x軸交于點B、C（點B在點C左側），且OA=OC=4OB．
（1）求a，b的值；
（2）連接AB、AC，點P是拋物線上第一象限內一動點，且點P位于對稱軸右側，
過點P作PD⊥AC于點E，分別交x、y軸于點D、H，過點P作PG∥AB交AC于點F，交x軸于點G，設P（x，y），線段DG的長為d，求d與x之間的函數關系（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當時，連接AP并延長至點M，連接HM交AC于點S，點R是拋物線上一動點，當△ARS為等腰直角三角形時．求點R的坐標和線段AM的長．

Answer 1

【答案】解：（1）y=ax2+bx+4，當x=0時，y=4，
∴A（0，4）
∵OC=OA=4OB，
∴OC=4，OB=1，
∴C（4，0），B（﹣1，0）
將C（4，0），B（﹣1，0）代入拋物線y=ax2+bx+4
得：，解得：
∴a=﹣1 b=3．
（2）如圖1，作PK⊥x軸于點K．

∵a=﹣1 b=3．
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．
設點P的坐標為（x，y）
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠ACO=45°，
∵AC⊥PD，
∴∠EDC=45°，
∵PK⊥x軸，
∴△PDK為等腰直角三角形，
∴PK=DK=y，
∵AB∥PG，
∴∠ABO=∠PGK，
∵tan∠ABO==4，
∴tan∠PGK==4
∴GK=PK=y
∴d=DK﹣GK=y﹣y=y，
將y=﹣x2+3x+4代入得：d=（﹣x2+3x+4）=-．
（3）如圖2所示：過點P作PK⊥x軸，垂足為K，PK交于AC與N．

∵
∴．
設點P的坐標為（x，y）．
∵CK=NK=4﹣x
∴PN=y﹣4+x
∴PE=PN=(y-4+x)，PD=PK=y
∴，．
將y=﹣x2+3x+4代入得：．
整理得：x2﹣7x+12=0．
解得：x1=3，x2=4（舍去）．
∴P（3，4）
∵DK=PK=4，
∴D（﹣1，0）．
∴點D、B重合．
∵△BOH為等腰直角三角形，
∴OH=OB=1．
∴AH=3．
如圖3所示：∠RAS=90°時．

設點R（a，﹣a2+3a+4）
∵△ARS為等腰直角三角形
∴∠RAS=90°，∠ARS=45°
∵AP∥x軸
∴∠PAC=∠ACO=45°．
∴∠RAP=45°．
∴RS⊥AM．
∴AL=LS，AL=LR．
∴a=﹣a2+3a+4﹣4．
∴a=2．
∴R（2，6）．
在Rt△LMS中tan∠M=，在Rt△AHM中tan∠M=
∴=．
∴
∴LM=4
∴AM=6．
當∠ARS=90°和∠ASR=90°時，△ARS不能構成等腰直角三角形．
綜上所述，AM的長為6．
【解析】（1）將x=0代入求得y=4，從而得到點A的坐標為（0，4），由OA=OC=4OB可求得C（4，0），B（﹣1，0），然后將點B、C的坐標代入拋物線的解析式可求得a=﹣1，b=3；
（2）作PK⊥x軸于點K．由題意可知△AOC為等腰直角三角形，于是得到∠ACO=45°，由AC⊥PD可證明∠EDC=45°，從而得到△PDK為等腰直角三角形，故此PK=DK=y，由AB∥PG可知∠ABO=∠PGK，由銳角三角函數的定義可知==4，從而得到GK=PK=y，由d=DK﹣GK可求得d=-；
（3）如圖2所示：過點P作PK⊥x軸，垂足為K，PK交于AC與N．由題意可知： ， 設點P的坐標為（x，y），由△NKC為等腰直角三角形可知CK=NK=4﹣x，由PN=PK﹣KN可知PN=y﹣4+x，由△PEN為等腰三角三角形可知PE=PN=(y-4+x)，由△PBK為等腰直角三角形可知PD=PK=y，從而可得到 ， 將y=﹣x2+3x+4代入得： ． 解得：x1=3，x2=4（舍去）于是可求得P（3，4），從而得打D（﹣1，0），故此點D、B重合，由△BOH為等腰直角三角形，可求得AH=3．如圖3所示：∠RAS=90°時．設點R（a，﹣a2+3a+4）由△ARS為等腰直角三角形，可證明RS⊥AM，從而得到AL=LS，AL=LR，故此a=﹣a2+3a+4﹣4可求得R（2，6）．由銳角三角函數的定義可知：= ， 從而得到 ， 解得LM=4，于是可求得AM=6；當∠ARS=90°和∠ASR=90°時，△ARS不能構成等腰直角三角形，故此AM的長為6．