Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx﹣3a經過點A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D．

（1）求此二次函數解析式；
（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；
（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數y=ax2+bx﹣3a經過點A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根據題意，得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）解：由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D點坐標為（1，4），

∴CD= = ，

BC= =3 ，

BD= =2 ，

∵CD2+BC2=（ ）2+（3 ）2=20，BD2=（2 ）2=20，

∴CD2+BC2=BD2，

∴△BCD是直角三角形；

（3）解：存在．

y=﹣x2+2x+3對稱軸為直線x=1．

①若以CD為底邊，則P1D=P1C，

設P1點坐標為（x，y），根據勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，

因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，

即y=4﹣x．

又P1點（x，y）在拋物線上，

∴4﹣x=﹣x2+2x+3，

即x2﹣3x+1=0，

解得x1= ，x2= ＜1，應舍去，

∴x= ，

∴y=4﹣x= ，

即點P1坐標為（ ， ）．

②若以CD為一腰，

∵點P2在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P2與點C關于直線x=1對稱，

此時點P2坐標為（2，3）．

∴符合條件的點P坐標為（ ， ）或（2，3）．

【解析】（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函數y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可確定二次函數的解析式；（2）分別求得線段BC、CD、BD的長，利用勾股定理的逆定理進行判定即可；（3）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標和縱坐標之間的關系，再結合拋物線解析式即可求解．