Question

【題目】如圖，己知函數y=﹣ x+4的圖象與坐標軸的交點分別為點A、B，點C與點B關于x軸對稱，動點P、Q分別在線段BC、AB上（點P不與點B、C重合）．且∠APQ=∠ABO

（1）點A的坐標為 ， AC的長為；
（2）判斷∠BPQ與∠CAP的大小關系，并說明理由；
（3）當△APQ為等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）（3,0）,5
（2）解：∠BPQ=∠CAP．理由如下：

∵點C與點B關于x軸對稱，

∴AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠APQ=∠ABC，

∴∠ACB=∠APQ，

∵∠BPA=∠ACB+∠CAP，

即∠BPQ+∠APQ=∠ACB+∠CAP，

∴∠BPQ=∠CAP；

（3）解：當PA=PQ，如圖1，則∠PQA=∠PAQ，

∵∠PQA=∠1+∠BPQ=∠APQ+∠BPQ=∠BPA，

∴BP=BA=5，

∴OP=BP﹣OB=1，

∴P（0，﹣1）；

當AQ=AP，則∠AQP=∠APQ，

而∠AQP=∠BPA，所以此情況不存在；

當QA=QP，如圖2，則∠APQ=∠PAQ，

而∠1=∠APQ，

∴∠1=∠PAQ，

∴PA=PB，

設P（0，t），則PB=4﹣t，

∴PA=4﹣t，

在Rt△OPA中，∵OP2+OA2=PA2，

∴t2+32=（4﹣t）2，解得t= ，

∴P（0， ），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，﹣1），（0， ）．

【解析】解：（1）當y=0時，﹣ x+4=0，解得x=3，則A（3，0），

當x=0時，y=﹣ x+4=4，則B（0，4），

∵點C與點B關于x軸對稱，

∴C（0，﹣4），

∴AC= =5；

所以答案是（3，0），5；

【考點精析】本題主要考查了三角形的外角和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．