Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，6），B（8，0）．點P從A點出發，以每秒1個單位的速度沿AO運動；同時，點Q從O出發，以每秒2個單位的速度沿OB運動，當Q點到達B點時，P、Q兩點同時停止運動．

（1）求運動時間t的取值范圍；
（2）整個運動過程中，以點P、O、Q為頂點的三角形與Rt△AOB有幾次相似？請直接寫出相應的t值．
（3）t為何值時，△POQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點B的坐標為（8，0），

∴OB=8，

∵點Q從O出發，以每秒2個單位的速度沿OB運動，當Q點到達B點時，P、Q兩點同時停止運動，

∴t≤4，

則運動時間t的取值范圍為：0≤t≤4

（2）

解：由題意得，AP=t，OP=6﹣t，OQ=2t，

①當Rt△POQ∽Rt△AOB時， = ，

即 = ，

解得，t= ，

②當Rt△POQ∽Rt△BOA時， = ，

即 = ，

解得，t= ，

則當t= 或 時，以點P、O、Q為頂點的三角形與Rt△AOB相似，即相似兩次

（3）

解：△POQ的面積= ×OP×OQ= ×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，

∴當t=3時，△POQ的面積最大，最大值是9

【解析】（1）根據題意求出OB的長，得到運動時間t的取值范圍；（2）分Rt△POQ∽Rt△AOB和Rt△POQ∽Rt△BOA兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；（3）用t表示出△POQ的面積，根據二次函數的性質解答即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的圖象的相關知識點，需要掌握函數的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成；圖像上每一點坐標（x，y）代表了函數的一對對應值，他的橫坐標x表示自變量的某個值，縱坐標y表示與它對應的函數值才能正確解答此題．