Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上任意一點，∠ECF=45°，CF交AD于點F，將△CBE繞點C順時針旋轉到△CDP，點P恰好在AD的延長線上．

（1）求證：EF=PF；

（2）直線EF與以C為圓心，CD為半徑的圓相切嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）相切．理由見解析.

【解析】

（1）根據已知判定△ECF≌△PCF，從而得到EF=PF；

（2）過點C作CQ⊥EF于點Q，由（1）得，△ECF≌△PCF又CQ⊥EF，CD⊥FP，根據切線的判定定理，從而得到直線EF與以C為圓心，CD為半徑的圓相切．

（1）在正方形ABCD中，∠BCD=90°，

依題意△CDP是△CBE繞點C旋轉90°得到，

∴∠ECP=90°，CE=CP，

∵∠ECF=45°，

∴∠FCP=∠ECP﹣∠ECF=90°﹣45°=45°，

∴∠ECF=∠FCP，CF=CF，

∴△ECF≌△PCF，

∴EF=PF；

（2）相切．理由如下：

過點C作CQ⊥EF于點Q，

由（1）得，△ECF≌△PCF，

∴∠EFC=∠PFC，

∵CQ⊥EF，CD⊥FP，

∴CQ=CD，

∴直線EF與以C為圓心，CD為半徑的圓相切．