Question

情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．

觀察圖2可知：與BC相等的線段是　 　 ，∠CAC′=　 　 °．

問題探究

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

解：情境觀察

AD（或A′D），90 

問題探究

結(jié)論：EP=FQ.  

證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.

∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ.  ∴EP=FQ.

拓展延伸

結(jié)論： HE=HF.  

理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.

∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP.

∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .

同理△ACG∽△FAQ，∴ = .

∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ.

∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF