Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD，BD分別平分∠CAB和∠CBA，相交于點D．
（1）如圖1，過點D作DE∥AC，DF∥BC分別交AB于點E、F． ①若∠EDF=80°，則∠C為多少？
②若∠EDF=x°，證明：∠ADB=（90+ ）°．
（2）如圖2，若DE，BE分別平分∠ADB和∠ABD，且EF，BF分別平分∠BED和∠EBD，若∠BFE的度數是整數，求∠BFE至少是多少度？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠EDF=80°，

∴∠DEF+∠EDF=180°﹣80°=100°，

∵DE∥AC，

∴∠BED=∠BAC，

同理得：∠EFD=∠ABC，

∴∠ABC+∠BAC=∠DEF+∠EDF=100°，

∴∠C=80°

故答案為：80°；

②∵∠EDF=x°，

∴∠DEF+∠EFD=180°﹣x°，

∵DE∥AC，

∴∠BED=∠BAC，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD，

∴∠DEF=2∠BAD，

同理得：∠EFD=2∠ABD，

∴∠BAD+∠ABD= ，

∴∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣ =90°+ =（90+ ）°

（2）解：∵DE平分∠ADB，

∴∠BDE= ∠ADB=45°+ ，

∵∠BED+∠DBE=180°﹣∠BDE，

∵EF，BF分別平分∠BED和∠EBD，

∴ ∠BED+ ∠DBE=90°﹣ ∠BDE，

即∠BEF+∠EBF=90°﹣ ∠BDE，

∴∠BFE=180°﹣（∠BEF+∠EBF），

=180°﹣（90°﹣ ∠BDE），

=90°+ ∠BDE，

=90°+ （45°+ ），

=90°+22°+ + ，

=112°+ ，

∵∠BFE的度數是整數，

當x=4時，∠BFE=113°．

答：∠BFE至少是113度

【解析】（1）①先根據三角形的內角和求得：∠DEF+∠EDF=100°，再由平行線的性質得：∠BED=∠BAC，∠EFD=∠ABC，所以∠C=180°﹣100°=80°；②同理先求出∠DEF+∠EFD=180°﹣x°，由平行線的性質和角平分線的定義得：∠DEF=2∠BAD，同理得：∠EFD=2∠ABD，則∠BAD+∠ABD= ，再由三角形內角和可求得結論；（2）依據②的結論得：∠ADB=（90+ ）°，則∠BDE= ∠ADB=45°+ ，由三角形的內角和定理得：∠BED+∠DBE=180°﹣∠BDE，再由角平分線定義得： ∠BED+ ∠DBE=90°﹣ ∠BDE，代入∠BFE=180°﹣（∠BEF+∠EBF），可得結論．
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質和三角形的內角和外角的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．