Question

四邊形ABCD內接于圓，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．設O是AC的中點．
（1）設P是AB上的動點，求OP+PC的最小值；
（2）設Q，R分別是AB，AD上的動點，求△CQR的周長的最小值．

Answer 1

（1）設C關于AB的對稱點為E，連接OE交AB于P．
則此時OP+PC為最小，OP+PC的最小值為OP+PC=OE=

82+42

=4

5

；

（2）作C關于AB的對稱點G，關于AD的對稱點F
則三角形CQR的周長=CQ+QR+CR=GQ+QR+RF≥GF
而GF=2BD
∠CDB=∠CAB=45°
∠CBD=∠CAD=30°
在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，
BD=DH+BH
=4×cos45°+4

2

×cos30°
=2

2

+2

6

GF=4

2

+4

6

△CQR的周長的最小值為4

2

+4

6

．