Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經過點O，OP=10cm，射線PN與⊙O相切于點Q．A、B兩點同時從點P出發，點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運動，設運動時間為t s．
（1）求PQ的長；
（2）當直線AB與⊙O相切時，求證：AB⊥PN；
（3）當t為何值時，直線AB與⊙O相切？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，連接OQ，

∵PN與⊙O相切于點Q，

∴OQ⊥PN，

∴∠OQP=90°，

∵OQ=6cm，OP=10cm，

∴PQ= = =8

（2）解：如圖2中，過點O作OC⊥AB于C．

由題意，PA=5t，PB=4t，

∵OP=10，PQ=8，

∴ = ，∵∠P=∠P，

∴△PBA∽△PQO，

∴∠PBA=∠PQO=90°，

∴AB⊥PN

（3）解：∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，

∴四邊形OCBQ是矩形，

∴BQ=OC=6，

∵OC=6cm，

∴BQ=6cm．

①當AB運動到圖2位置時，BQ=PQ﹣PB=6，

∴8﹣4t=6，

∴t=0.5s，

②當AB運動到圖3位置時，

BQ=AB﹣PQ=6，

∴4t﹣8=6，

∴t=3.5s，

綜上所述，t=0.5s或3.5s時，直線AB與⊙O相切

【解析】（1）連接OQ，在Rt△OPQ中，利用勾股定理即可解決問題．（2）如圖2中，過點O作OC⊥AB于C．只要證明△PBA∽△PQO，即可推出∠PBA=∠PQO=90°．（3）首先證明四邊形OCBQ是矩形，分兩種情形列出方程即可解決問題．