Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分別為邊AB、BC的中點，連結DE，點P從點A出發，沿折線AD﹣DE運動，到點E停止，點P在AD上以5cm/s的速度運動，在DE上以1cm/s的速度運動，過點P作PQ⊥AC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN．設點P的運動時間為t（s）．

（1）當點P在線段DE上運動時，線段DP的長為_____cm．（用含t的代數式表示）

（2）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，設五邊形的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

（3）如圖2，若點O在線段BC上，且CO=1，以點O為圓心，1cm長為半徑作圓，當點P開始運動時，⊙O的半徑以0.2cm/s的速度開始不斷增大，當⊙O與正方形PQMN的邊所在直線相切時，求此時的t值．

Answer 1

【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=s．

【解析】分析：（1）根據勾股定理求出AB，根據D為AB中點，求出AD，根據點P在AD上的速度，即可求出點P在AD段的運動時間，再求出點P在DP段的運動時間，最后根據DE段運動速度為1cm/s，即可求出DP；

（2）由正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形，可知點P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根據MN∥BC，求出FN的長，從而得到FM的長，再根據S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S與t的函數關系式即可；

（3）當圓與邊PQ相切時，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2cm/s的速度不斷增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；當圓與MN相切時，r=CM=8﹣t=1+0.2t，從而可求得t的值．

詳解：（1）由勾股定理可知：AB==10．

∵D、E分別為AB和BC的中點，

∴DE=AC=4，AD=AB=5，

∴點P在AD上的運動時間==1s，當點P在線段DE上運動時，DP段的運動時間為（t﹣1）s．

∵DE段運動速度為1cm/s，∴DP=（t﹣1）cm．

故答案為：t﹣1．

（2）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有一種情況，如下圖所示．

當正方形的邊長大于DP時，重疊部分為五邊形，

∴3＞t﹣1，t＜4，DP＞0，∴t﹣1＞0，

解得：t＞1，∴1＜t＜4．

∵△DFN∽△ABC，∴===．

∵DN=PN﹣PD，∴DN=3﹣（t﹣1）=4﹣t，

∴=，∴FN=，

∴FM=3﹣=，

S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，

∴S=×（+3）×（4﹣t）+3（t﹣1）=﹣t2+3t+3（1＜t＜4）．

（3）①當圓與邊PQ相切時，如圖：

當圓與PQ相切時，r=PE，由（1）可知，PD=（t﹣1）cm，

∴PE=DE﹣DP=4﹣（t﹣1）=（5﹣t）cm．

∵r以0.2cm/s的速度不斷增大，∴r=1+0.2t，

∴1+0.2t=5﹣t，解得：t=s．

②當圓與MN相切時，r=CM．

由（1）可知，DP=（t﹣1）cm，則PE=CQ=（5﹣t）cm，MQ=3cm，

∴MC=MQ+CQ=5﹣t+3=（8﹣t）cm，

∴1+0.2t=8﹣t，解得：t=s．

∵P到E點停止，∴t﹣1≤4，即t≤5，∴t=s（舍）．

綜上所述：當t=s時，⊙O與正方形PQMN的邊所在直線相切．