Question

【題目】已知，如圖：在直角坐標系中，正方形AOBC的邊長為4，點D、E分別是線段AO，OC上的動點，D點由A點向O點運動，速度為每秒1個單位，E點由B點向O點運動，速度為每秒2個單位，當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止.設運動時間為t（秒）

（1）如圖1，當t為何值時，△DOE的面積為6；

（2）如圖2，連結CD,AE交于點F，當t為何值時，CD⊥AE；

（3）如圖3,過點D作DG//OB，交BC于點G，連結EG,當D，E在運動過程中，直角坐標系中是否存在點H，使得點D,E,H,G四點構成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值，并直接寫出點G的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：（1）利用三角形的面積公式計算即可;(2)假設CD⊥AE，可得△AOE≌△CAD，由AD=OE，即可求解;(3) 假設存在這樣的點H,分兩種情況討論：若DG為菱形的邊時；若DG為菱形的對角線時.

詳解：（1）如圖1，

由題意得，AD=t,BE=2t,則OD=4-t,OE=4-2t.

∴S△DOE==6.

整理得，.

解得，t1=，t=(舍去)

∴ 當t為時，△DOE的面積為6.

（2）如圖2，當CD⊥AE時，此時∠ACD+∠CAF=90°

又∵∠CAF+∠OAE=90°

∴∠ACD=∠OAE

又∵∠AOE=∠CAD=90°，OA=AC

∴△AOE≌△CAD（AAS）

∴AD=OE

即t=4-2t

∴

（3）假設存在這樣的點H，使得點D,E,H,G四點構成的四邊形為菱形.

若DG為菱形的邊時

①當DE=DG=4時，在Rt△BEG中，

即

∴

∴t1=0,t2=1.6.

當t=0時，此時H剛好與O重合.點G的坐標為（4,4）

當t=1.6時，此時點G的坐標為（4，2.4）.

②當DE=DG=4時，在Rt△ODE中，

即

∴

∴ t=0.8或t=4>2(舍去)

當t=0.8時，此時點G的坐標為（4,3.2）

2. 若DG為菱形的對角線時

當DE=DG時，此時OE=BE，即2t=2,∴t=1

此時點G的坐標為（4,3）.