Question

（2012•朝陽區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)N（2，-5），過點(diǎn)N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點(diǎn)M，MN=6．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P（x，y）為此拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP交此拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，當(dāng)△DMN為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)此拋物線與y軸交于點(diǎn)C，在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QMN=∠CNM？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)MN平行x軸，MN=6，點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，-5），可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸x=-1交MN于點(diǎn)G，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸是MN的中垂線，根據(jù)△DMN為直角三角形，可得出D₁及D₂的坐標(biāo)，分別求出MD1及MD2的函數(shù)解析式，結(jié)合拋物線可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①點(diǎn)Q在MN上方，②點(diǎn)Q在MN下方，然后根據(jù)兩角相等，利用三角函數(shù)建立方程，解出x的值后檢驗(yàn)即可得出答案．

解答：解：（1）由題意得，MN平行x軸，MN=6，點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，-5），
故可得點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4，-5），
∵y=ax²+bx+3過點(diǎn)M（-4，-5）、N（2，-5），
∴可得

4a+2b+3=-5 16a-4b+3=-5

，
解得：

a=-1 b=-2

，
故此拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸x=-1交MN于點(diǎn)G，
若△DMN為直角三角形，則GD1=GD2=

1

2

MN=3，
可得D₁（-1，-2），D₂（-1，-8），
從而可求得直線MD₁解析式為；y=x-1，直線MD₂解析式為：y=-x-9，
將P（x，-x²-2x+3）分別代入直線MD₁，MD₂的解析式，
得-x²-2x+3=x-1①，-x²-2x+3=-x-9②、
解①得 x₁=1，x₂=-4（舍），
即P₁（1，0）；
解②得 x₃=3，x₄=-4（舍），
即P₂（3，-12）；
故當(dāng)△DMN為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，-12）．
（3）設(shè)存在點(diǎn)Q（x，-x²-2x+3），使得∠QMN=∠CNM，
①若點(diǎn)Q在MN上方，過點(diǎn)Q作QH⊥MN，交MN于點(diǎn)H，
則QH=-x²-2x+3+5，MH=（x+4）、
故

QH

MH

=tan∠CNM=4，即-x²-2x+3+5=4（x+4）、
解得x₁=-2，x₂=-4（舍），
故可得點(diǎn)Q₁（-2，3）；
②若點(diǎn)Q在MN下方，
同理可得Q₂（6，-45）．
綜上可得存在點(diǎn)Q，使∠QMN=∠CNM，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，3）或（6，-45）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一元二次方程的求解及三角函數(shù)的知識(shí)，難點(diǎn)在第二問和第三問，注意要分類討論，不要漏解，要求我們能將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．