Question

【題目】如圖1，將等腰直角三角形繞點順時針旋轉至，為上一點，且，連接、，作的平分線交于點，連接．

（1）若，求的長；

（2）求證：；

（3）如圖2，為延長線上一點，連接，作垂直于，垂足為，連接，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據題意及等腰直角三角形的性質可知AF=AD=DE=4，再利用勾股定理求出AE，然后根據線段之間的關系求解即可；

（2）過點A作AP⊥BF，根據角平分線、等腰三角形的性質可證明△PAG為等腰直角三角形，過點C作CQ⊥BF，利用AAS可證明△ABP≌△BCQ，再利用全等的性質及線段間的關系可證明△CQG為等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形邊的性質可證明結論；

（3）過點B作BH⊥BN交NC的延長線于點H，利用AAS可證明△ABN≌△CBH，再利用全等的性質可證明△BHN為等腰直角三角形，從而可得到答案．

解：（1）由題可得，

∴在等腰中，，

∴；

（2）證明：如圖，過作，

∵平分，且，

∴，

又∵，

∴，，

由題可得，，

∴，

∴，

∴，即為等腰直角三角形，

∴，，

過作，

∵，

∴，

在與中，，

∴△ABP≌△BCQ（AAS），

∴，，

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴；

（3）如圖，過點B作BH⊥BN交NC的延長線于點H，

∵BH⊥BN，∠ABC=90°，

∴∠HBC+∠CBN=∠ABN+∠CBN，

∴∠HBC=∠ABN，

∵BH⊥BN，AN⊥CM，

∴∠BHC+∠CNB=∠ANB+∠CBN，

∴∠BHC=∠ANB，

在△ABN和△CBH中，，

∴△ABN≌△CBH（AAS），

∴BH=BN，CH=AN，

∴△BHN為等腰直角三角形，

∴HN=BN，

又∵HN=HC+CN=AN+CN，

∴AN+CN=BN，

∴．