Question

【題目】如圖1，已知拋物線與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，點C’是點C關于對稱軸的對稱點，過點D作DG⊥x軸交x軸于點G，交線段AC于點E。

（1）連接DC，求△DCE的周長；

（2）如圖2，點P是線段AC上方拋物線上的一點，過P作PH⊥x 軸交x軸于點H，交線段AC于點Q，當四邊形PCQC’的面積最大時，在線段PH上有一動點M，在線段DG上有一動點N，在y軸上有一動點E，且滿足MN⊥PH，連接AM,MN,NE,DE，求AM+MN+NE+DE的最小值；

（3）如圖3，將拋物線沿直線AC進行平移，平移過程中的點D記為D’，點C記為C’，連接D’C’所形成的直線與x軸相交于點G，請問是否存在這樣的點G，使得△D’OG為等腰三角形？若存在，求出此時OG的長度，若不存在，請說明理由。

圖1 圖2

圖3

Answer 1

【答案】（1）2（2） （3）OG=或5或或

【解析】分析：(1)根據函數解析式，分別求出點C，D，E的坐標，用勾股定理求CD，CE的長；(2)四邊形PCQC′的面積等于PQ與CC′積的一半，CC′是的值不變，即PQ最大時，四邊形PCQC′的面積最大，得到P，H的坐標，可求MN的長，分別將AM向MN方向平移MN個單位得到，過軸作的對稱點，則＋MN為所求；(3)根據D點的運動路徑平行于AC，得直線DD′的解析式為，設D′，用含a的代數式表示點G的坐標，用勾股定理求OG，OD′，GD′的長，分三種情況討論.

詳解：(1)可得，D()對稱軸＝－1，

∵直線AC的解析式為，∴，

∴CD＝ ＝；

CE＝ ＝；

DE＝.

∴.

(2)設，

， 的值不變.

當PQ最大時，四邊形面積最大，PQ的值最大，且，

當時，PQ最大，此時面積最大， .

， ，

將AM向MN方向平移個單位得到.

過軸作的對稱點，連接，交DG于點N，交y軸于點E，過N作MN∥于軸交PH于點M，

此時最小，最小值＝.

(3)D點的運動路徑平行于AC， ，

∴，設.

∵∠DCA＝60°，DC∥.

∴∠CG＝60°，∠AG＝120°.

∵∠CAO＝30°，∴∠＝30°.

∴直線D′E的解析式為y＝－，∴.

由勾股定理得：

，

，

.

①時， ，∴OG＝0(舍)；

②時， ，∴OG＝；

③時， ，∴OG＝.

綜上所述：OG＝或.