Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，M是OA上一點，過M作AB的垂線交BC的延長線于點E，過點C作⊙O的切線，交ME于點F．

（1）求證：EF=CF；
（2）若∠B=2∠A，AB=4，且AC=CE，求BM的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：延長FC至H，如圖所示：

∵⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，

∴AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵EM⊥AB，

∴∠EMB=∠ACB=90°，

∵∠ABC=∠EBM，

∴△ABC∽△EMB，

∴∠CEF=∠CAB，

∵FC是⊙O的切線，

∴∠CAB=∠BCH，

∵∠BCH=∠ECF

∴∠CAB=∠ECF，

∴∠CEF=∠ECF，

∴EF=CF；

（2）解：∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，

∴BC= AB=2，AC= BC=2 ，

∵AC=CE，

∴CE=2 ，

∴BE=BC+CE=2+2 ，

在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠BEM=∠A=30°

∴BM= BE=1+ ．

【解析】（1）延長FC至H，由AB是⊙O的直徑，得出∠ACB=90°，由EM⊥AB，得出∠EMB=∠ACB=90°，證得△ABC∽△EMB，得出∠CEF=∠CAB，由弦切角定理得出∠CAB=∠BCH，由對頂角相等得出∠BCH=∠ECF，推出∠CEF=∠ECF，即可得出結論；（2）利用含30度的直角三角形三邊的性質得出BC= AB=2，AC= BC=2 ，則CE=2 ，所以BE=BC+CE=2+2 ，然后在Rt△BEM中計算出BM= BE即可．
【考點精析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．