Question

【題目】（本題滿分12分）已知：點E為AB邊上的一個動點.

（1）如圖1，若△ABC是等邊三角形，以CE為邊在BC的同側作等邊△DEC ，連結AD.試比較∠DAC與∠B的大小，并說明理由；

（2）如圖2，若△ABC中，AB=AC，以CE為底邊在BC的同側作等腰△DEC ，且

△DEC∽△ABC，連結AD.試判斷AD與BC的位置關系，并說明理由；

（3）如圖3，若四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以CE為邊在BC的同側作正方形ECGF.

①試說明點G一定在AD的延長線上；

②當點E在AB邊上由點B運動至點A時，點F隨之運動，求點F的運動路徑長.

Answer 1

【答案】（1）∠DAC=∠B 理由見解析；（2）AD∥BC 理由見解析；（3）點F的運動路徑長為.

【解析】解：(1) ∠DAC=∠B 理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等邊三角形 ∴∠DCE=∠ACB=60° ∴∠BCE=∠ACD

∵BC=AC CE=CD ∴△BCE≌△ACD ∴∠B=∠DAC

（2）AD∥BC 理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC ∴

∵∠DCE=∠ACB ∴∠DCA=∠ECB ∴△DCA∽△ECB

∴∠DAC=∠EBC=∠ACB ∴AD∥BC

（3）①連結DG,∵四邊形ABCD和FECG都是正方形

∴BC=CD CE=CG ∠BCD=∠ECG=90°

∴∠BCE=∠DCG∴△BCE≌△DCG …∴∠B=∠CDG=90°

∵∠ADC=90°∴∠ADC+∠CDG=180°

∴點G一定在AD的延長線上.

②作FH⊥AG于點H，易證：△FHG≌△GDC≌△EBC

∴FH=BE=DG HG=BC

∴AH=AG-GH=AD+DG-GH= BC+DG-BC=DG=FH

∴△AFH是等腰直角三角形

∴∠FAG=45°

∴點F的運動路徑長=AC=.