Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+2經過A（﹣1，0），B（2，0），C三點．直線y=mx+0.5交拋物線于A，Q兩點，點P是拋物線上直線AQ上方的一個動點，作PF⊥x軸，垂足為F，交AQ于點N．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，當點P運動到什么位置時，線段PN=2NF，求出此時點P的坐標；

（3）如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，點M為拋物線的頂點，在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最小？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）點P的坐標為（0.5，2.25）（3）在直線DE上存在一點G，使△CMG的周長最小，此時G（﹣， ）．

【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經過A（﹣1，0），B（2，0），

∴將點A和點B的坐標代入得： ，

解得a=﹣1，b=1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．

（2）直線y=mx+0.5交拋物線與A、Q兩點，

把A（﹣1，0）代入解析式得：m=0.5，

∴直線AQ的解析式為y=0.5x+0.5．

設點P的橫坐標為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n，0.5 n+0.5），F（n，0），

∴PN=﹣n2+n+2﹣（0.5n+0.5）=﹣n2+0.5n+1.5，NF=0.5n+0.5．

∵PN=2NF，即﹣n2+0.5n+1.5=2×（0.5n+0.5），解得：n=﹣1或0.5．

當n=﹣1時，點P與點A重合，不符合題意舍去．

∴點P的坐標為（0.5，2.25）．

（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣0.5）2+2.25，

∴M（0.5，2.25）．

如圖所示，連結AM交直線DE與點G，連結CG、CM此時，△CMG的周長最小．

設直線AM的函數解析式為y=kx+b，且過A（﹣1，0），M（0.5，2.25）．

根據題意得：-k+b=0,0.5k+b=2.25，

解得k=1.5,b=1.5．

∴直線AM的函數解析式為y=1.5+1.5．

∵D為AC的中點，∴D（﹣0.5，1）．

設直線AC的解析式為y=kx+2，

將點A的坐標代入得：﹣k+2=0，

解得k=2，

∴AC的解析式為y=2x+2．

設直線DE的解析式為y=﹣0.5x+c，

將點D的坐標代入得：0.25+c=1，

解得c=0.75，

∴直線DE的解析式為y=﹣0.5x+0.75．

將y=﹣0.5x+0.75與y=1.5+1.5聯立，解得：x=﹣，y=．

∴在直線DE上存在一點G，使△CMG的周長最小，此時G（﹣， ）．