Question

【題目】解答
（1）如圖1，小明和小亮在研究一個數學問題：已知AB∥CD，AB和CD都不經過點P，探索∠P與∠A，∠C的數量關系．

小明是這樣證明的：過點P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是這樣證明的：過點作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
請在上面證明過程的過程的橫線上，填寫依據；兩人的證明過程中，完全正確的是 ．
（2）應用：
在圖2中，若∠A=120°，∠C=140°，則∠APC的度數為；
（3）拓展：
在圖3中，探索∠APC與∠A，∠C的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；小明
（2）100°
（3）解：∠APC=∠C﹣∠A，

理由是：如圖3，∵AB∥CD，

∴∠C=∠POB，

∵∠APC=∠POB﹣∠A，

∴∠APC=∠C﹣∠A

【解析】解：（1）如圖1，過點P作PQ∥AB，
∴∠APQ=∠A（兩直線平行，內錯角相等），
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠CPQ=∠C，
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C；
所以答案是：兩直線平行，內錯角相等，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，小明；
2）如圖2，過P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ=180°，∠C+∠CPQ=180°，
∵∠A=120°，∠C=140°，
∴∠APQ=60°，∠CPQ=40°，
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=100°，
所以答案是：100°；
【考點精析】掌握平行線的判定與性質是解答本題的根本，需要知道由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質．