Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy 中，點P是⊙C外一點，連接CP交⊙C于點Q，點P關于點Q的對稱點為P′，當點P′在線段CQ上時，稱點P為⊙C“友好點”．已知A（1，0），B（0，2），C（3，3）

（1）當⊙O的半徑為1時，

①點A，B，C中是⊙O“友好點”的是　 　；

②已知點M在直線y＝﹣x+2 上，且點M是⊙O“友好點”，求點M的橫坐標m的取值范圍；

（2）已知點D，連接BC，BD，CD，⊙T的圓心為T（t，﹣1），半徑為1，若在△BCD上存在一點N，使點N是⊙T“友好點”，求圓心T的橫坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①B；②0≤m≤；（2）﹣4+3≤t＜3

【解析】

（1））①根據“友好點”的定義，OB＝2r＝2，所以點B是⊙O“友好點”；

②設M（m，﹣m+2 ），根據“友好點”的定義，OM＝，解得0≤m≤；

（2）B（0，2），C（3，3），D，⊙T的圓心為T（t，﹣1），點N是⊙T“友好點”，NT≤2r＝2，所以點N只能在線段BD上運動，過點T作TN⊥BD于N，作TH∥y軸，與BD交于點H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝HT，直線BD：y＝﹣x+2，H（t，﹣t+2 上），HT＝﹣t+2﹣（﹣1）＝﹣t+3，NT＝HT＝（﹣t+3）＝﹣t+，解出t的范圍．

解：（1）①∵r＝1

∴根據“友好點”的定義，OB＝2r＝2

∴點B是⊙O“友好點”

OC＝3 >2r，不是⊙O“友好點”

A（1，0）在⊙O上，不是⊙O“友好點”

故答案為B；

②如圖，

設M（m，﹣m+2 ），根據“友好點”的定義

∴OM＝

整理，得2m2﹣2m≤0

解得0≤m≤；

∴點M的橫坐標m的取值范圍：0≤m≤；

（2）∵B（0,2）,C（3,3）,D,⊙T的圓心為T（t,﹣1）,點N是⊙T“友好點”

∴NT≤2r＝2，

∴點N只能在線段BD上運動，過點T作TN⊥BD于N，作TH∥y軸，與BD交于點H．

易知∠BDO＝30°，

∴∠OBD＝60°，

∴NT＝HT，

∵B（0，2），D，

∴直線BD：y＝﹣x+2，H（t，﹣t+2 上），

∴HT＝﹣t+2﹣（﹣1）＝﹣t+3，

∴NT＝HT＝（﹣t+3）＝﹣t+，

∴﹣t+≤2，

∴t≥﹣4+，

當H與點D重合時，點T的橫坐標等于點D的橫坐標，即t＝，

此時點N不是“友好點”，

∴t＜，

故圓心T的橫坐標t的取值范圍：﹣4+≤t＜．