Question

【題目】如圖，過(guò)點(diǎn)C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=﹣x+4于B、A兩點(diǎn)，若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且頂點(diǎn)在矩形ADBC內(nèi)（包括邊上），則a的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由過(guò)點(diǎn)C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點(diǎn)，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，又由二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且頂點(diǎn)在矩形ADBC內(nèi)（包括三邊上），可得a＜0，然后由|a|越大，開口越小，可得當(dāng)頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在AC上時(shí)，a最小，當(dāng)頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在BD上時(shí)，a最大，繼而求得答案．

∵過(guò)點(diǎn)C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A（2，2），點(diǎn)B（3，1），

∵四邊形ABCD是矩形，

∴D（3，2），

∵二次函數(shù)頂點(diǎn)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在矩形ADBC內(nèi)（包括三邊上），

∴a＜0，

∵|a|越大，開口越小，

即a越小，開口越小，

∴當(dāng)頂點(diǎn)在AC上時(shí)，a最小，

設(shè)此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，m），且1≤m≤2，

則二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-2）2+m，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，

∴a（0-2）2+m=0，

解得：a=-，

∴當(dāng)m=2時(shí)，a最小，a=-，

∴當(dāng)頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在BD上時(shí)，a最大，

設(shè)此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，n），且1≤n≤2，

則二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-3）2+n，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，

∴a（0-3）2+n=0，

解得：a=-，

∴當(dāng)n=1時(shí)，a最大，a=-，

∴a的取值范圍是：-≤a≤-．

故答案為：-≤a≤-．