Question

【題目】如圖，中，，，的斜邊在x軸的正半軸上，點A與原點重合，隨著頂點A由O點出發沿y軸的正半軸方向滑動，點B也沿著x軸向點O滑動，直到與點O重合時運動結束在這個運動過程中．

中點P經過的路徑長______．

點C運動的路徑長是______．

Answer 1

【答案】

【解析】（1）根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，確定中點P的運動路徑：以O為圓心，以OP為半徑的圓弧，半徑OP=AB=2，代入周長公式計算即可；

（2）分為兩種情況：

①當A從O到現在的點A處時，如圖2，此時C′A⊥y軸，點C運動的路徑長是CC′的長；

②當A再繼續向上移動，直到點B與O重合時，如圖3，此時點C運動的路徑是從C′到C，長是CC′；

分別計算并相加．

（1）如圖1，∵∠AOB=90°，P為AB的中點，

∴OP=AB，

∵AB=，

∴OP=2，

∴AB中點P運動的軌跡是以O為圓心，以OP為半徑的圓弧，

即AB中點P經過的路徑長=×2×2π=π；

（2）①當A從O到現在的點A處時，如圖2，此時C′A⊥y軸，

點C運動的路徑長是CC′的長，

∴AC′=OC=8，

∵AC′∥OB，

∴∠AC′O=∠COB，

∴cos∠AC′O=cos∠COB=，

∴，

∴OC′=4，

∴CC′=4-8；

②當A再繼續向上移動，直到點B與O重合時，如圖3，

此時點C運動的路徑是從C′到C，長是CC′，

CC′=OC′-BC=4-4，

綜上所述，點C運動的路徑長是：4-8+4-4=8-12；

故答案為：(1). (2).