Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．

（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度數；

（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數量關系．

（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求∠A的度數.

Answer 1

【答案】（1）∠P=130°；（2）∠Q=90°-∠A；（3）∠A=60°、120°、90°

【解析】試題分析：（1）運用三角形的內角和定理及角平分線的定義，首先求出∠1+∠2，進而求出∠BPC即可解決問題；

（2）根據三角形的外角性質分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據角平分線的性質可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據三角形內角和定理即可求解；

（3）在△BQE中，由于∠Q=90°﹣∠A，求出∠E=∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況進行討論：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分別列出方程，求解即可．

試題解析：（1）如圖①，∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，∴∠BPC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣50°=130°．

（2）如圖②，∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A=180°+∠A．

∵BE，CQ分別為△ABC的外角∠MBC，∠NCB的角平分線，∴∠CBQ+∠BCQ=（180°+∠A），∴∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=90°﹣∠A；

（3）如圖③，連結BC并延長到點F．

∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=∠A；

∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ

=∠ABC+∠MBC

=（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．

如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況：

①∠EBQ=2∠E=90°，則∠E=45°，∠A=2∠E=90°；

②∠EBQ=2∠Q=90°，則∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；

③∠Q=2∠E，則90°﹣∠A=∠A，解得∠A=60°；

④∠E=2∠Q，則∠A=2（90°﹣∠A），解得∠A=120°．

綜上所述，∠A的度數是90°或60°或120°．