Question

【題目】如圖（1），在矩形中，分別是的中點，作射線，連接.

（1）請直接寫出線段與的數量關系；

（2）將矩形變為平行四邊形，其中為銳角，如圖（2），，分別是的中點，過點作交射線于點，交射線于點，連接，求證：；

（3）寫出與的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）MD＝MC；（2）見解析；（3）∠BME＝3∠AEM，證明見解析.

【解析】

（1）由“SAS”可證△ADM≌△BCM，可得MD＝MC；

（2）由題意可證四邊形ADNM是平行四邊形，可得AD∥MN，可得EF＝FC，MF⊥EC，由線段垂直平分線的性質可得ME＝MC；

（3）由等腰三角形的性質和平行線的性質可得∠BME＝3∠AEM．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，

∵點M是AB中點，

∴AM＝BM，

∴△ADM≌△BCM（SAS），

∴MD＝MC；

（2）∵M、N分別是AB、CD的中點，

∴AM＝BM，CN＝DN，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴DN＝AM＝CN＝BM，

∴四邊形ADNM是平行四邊形，

∴AD∥MN，

∴，∠AEC＝∠NFC＝90°，

∴EF＝CF，且MF⊥EC，

∴ME＝MC；

（3）∠BME＝3∠AEM，

證明：∵EM＝MC，EF＝FC，

∴∠EMF＝∠FMC，

∵AB＝2BC，M是AB中點，

∴MB＝BC，

∴∠BMC＝∠BCM，

∵MN∥AD，AD∥BC，

∴AD∥MN∥BC，

∴∠AEM＝∠EMF，∠FMC＝∠BCM，

∴∠AEM＝∠EMF＝∠FMC＝∠BCM＝∠BMC，

∴∠BME＝3∠AEM.