Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；

（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．

①求S與m的函數關系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）最大值為1，此時點E的坐標為（﹣2，2）．

【解析】（1）根據函數圖象經過的三點，用待定系數法確定二次函數的解析式即可；

（2）根據BC是定值，得到當PB+PC最小時，△PBC的周長最小，根據點的坐標求得相應線段的長即可；

（3）設點E的橫坐標為m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的長，從而表示出S于m的函數關系，然后求二次函數的最值即可．

解：（1）由題意可知： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC

∵BC是定值，

∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小，

∵點A、點B關于對稱軸I對稱，

∴連接AC交l于點P，即點P為所求的點

∵AP=BP

∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC

∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），

∴AC=3，BC=；

（3）①∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3頂點D的坐標為（﹣1，4）

∵A（﹣3，0）

∴直線AD的解析式為y=2x+6

∵點E的橫坐標為m，

∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）

∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3

∴S=S△DEF+S△AEF=EFGH+EFAC=EFAH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；

②S=﹣m2﹣4m﹣3

=﹣（m+2）2+1；

∴當m=﹣2時，S最大，最大值為1

此時點E的坐標為（﹣2，2）．

“點睛”此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的最值，根據點的坐標表示出線段的長是表示出三角形的面積的基礎．