Question

【題目】如圖，直線AB的解析式為，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點，點P是拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m．

求拋物線的解析式；

如圖，當點P在第一象限內的拋物線上時，求面積的最大值，并求此時點P的坐標；

過點A作直線軸，過點P作于點H，將繞點A順時針旋轉，使點H的對應點恰好落在直線AB上，同時恰好落在坐標軸上，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2）當時，面積有最大值，最大值為8，此時P點坐標為；（3）P點坐標為或；

【解析】

（1）先利用直線進行確定則A（0，4），然后利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）連接OP，設P（m，-m2+m+4），解方程x+4=0得B（3，0），根據三角形面積公式，利用面積的和差得到S△ABP=S△AOP+S△POB-S△AOB=4m+3（-m2+m+4）-34，然后根據二次函數的性質解決問題；

（3）先利用勾股定理計算出AB=5，討論：當點P′落在x軸上，如圖2，根據旋轉的性質得P′H′=PH=4-（-m2+m+4）=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，再證明△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′=m2-m，然后利用AH′+BH′=AB得到m+m2-m=5，解方程求出m即可得到P點坐標；當點P′落在y軸上，如圖3，同理可得P′H′=PH=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，通過證明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（m2-m）：3=m：4，然后解關于m的方程即可得到對應P點坐標．

解：當時，，則，

把，代入得，解得，

拋物線解析式為；

連接OP，設，

當時，，解得，則，

，

，

當時，面積有最大值，最大值為8，此時P點坐標為；

在中，，

當點落在x軸上，如圖2，

繞點A順時針旋轉，使點H的對應點恰好落在直線AB上，同時恰好落在x軸上

，，，

，

∽，

：：OB，即：：3，

，

，

，解得，舍去，此時P點坐標為；

當點落在y軸上，如圖3，

同理可得，，，

，

∽，

：：AO，即：：4，

整理得，解得，舍去，此時P點坐標為；

綜上所述，P點坐標為或；