Question

【題目】如圖，以AB為直徑作⊙O，點C為⊙O上一點，劣弧CB沿BC翻折，交AB于點D，過A作⊙O的切線交DC的延長線于點E．

（1）求證：AC=CD；

（2）已知tanE=，AC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

（1）根據折疊的性質與圓周角定理即可得證；

（2）根據切線的性質與圓周角定理易證∠E=∠ABC，則在Rt△ABC利用三角形函數與勾股定理求得AB=2，即⊙O的半徑為．

（1）如圖所示：

∵點D與點D′關于CB對稱，

∴CD=CD′，∠DBC=∠D′BC，

∴AC=CD′，

∴AC=CD；

（2）∵AE為⊙O的切線，

∴∠BAE=90°，

∴∠E+∠ADC=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAB=∠ADC，

∴∠E=∠ABC，

∴tanE=tan∠ABC==，

∵AC=2，

∴BC=4，

則AB=，

∴⊙O的半徑為．