Question

【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P為拋物線上，且位于x軸下方．
（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．

①求該拋物線的解析式；
②若D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標；
（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點．當點P運動時， 是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得

，解得 ，

拋物線的解析式為y= x2﹣ ；

②如圖1，

當點D在OP左側時，

由∠DPO=∠POB，得

DP∥OB，

D與P關于y軸對稱，P（1，﹣3），

得D（﹣1，﹣3）；

當點D在OP右側時，延長PD交x軸于點G．

作PH⊥OB于點H，則OH=1，PH=3．

∵∠DPO=∠POB，

∴PG=OG．

設OG=x，則PG=x，HG=x﹣1．

在Rt△PGH中，由x2=（x﹣1）2+32，得x=5．

∴點G（5，0）．

∴直線PG的解析式為y= x﹣

解方程組 得 ， ．

∵P（1，﹣3），

∴D（ ，﹣ ）．

∴點D的坐標為（﹣1，﹣3）或（ ，﹣ ）

（2）解：點P運動時， 是定值，定值為2，理由如下：

作PQ⊥AB于Q點，設P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），則at2+c=0，c=﹣at2．

∵PQ∥OF，

∴ ，

∴OF= =﹣ = =amt+at2．

同理OE=﹣amt+at2．

∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC．

∴ =2．

【解析】（1）①根據待定系數法求函數解析式，可得答案；②根據平行線的判定，可得PD∥OB，根據函數值相等兩點關于對稱軸對稱，可得D點坐標；（2）根據待定系數法，可得E、F點的坐標，根據分式的性質，可得答案．