Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖象經過點A（1，4）和點B．過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，過點B作BD⊥y軸，垂足為點D，連結AB、BC、DC、DA．點B的橫坐標為a（a＞1）

（1）求k的值
（2）若△ABD的面積為4；
①求點B的坐標，
②在平面內存在點E，使得以點A、B、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出符合條件的所有點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①（3，），②（3， ）；（3， ）；（3，- ）

【解析】

（1）由點A的坐標，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出k值；
（2）①設AC，BD交于點M，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可得出點B的坐標，結合AC⊥x軸，BD⊥y軸可得出BD，AM的長，利用三角形的面積公式結合△ABD的面積為4可求出a的值，進而可得出點B的坐標；
②設點E的坐標為（m，n），分AB為對角線、AC為對角線以及BC為對角線三種情況考慮，利用平行四邊形的性質（對角線互相平分）可得出關于m，n的二元一次方程組，解之即可得出點E的坐標．

解：（1）∵函數y=（x＞0）的圖象經過點A（1，4），
∴k=1×4=4．
（2）①設AC，BD交于點M，如圖1所示．

∵點B的橫坐標為a（a＞1），點B在y=的圖象上，
∴點B的坐標為（a，）．
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴BD=a，AM=AC-CM=4-．
∵△ABD的面積為4，
∴BDAM=4，即a（4-）=8，
∴a=3，
∴點B的坐標為（3，）

②存在，設點E的坐標為（m，n）．
分三種情況考慮，如圖2所示．

（i）當AB為對角線時，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），
∴ ，解得：，
∴點E1的坐標為（3， ）；
（ii）當AC為對角線時，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），

∴ ，解得：，

∴點E2的坐標為（3， ）；

（iii）當BC為對角線時，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），

∴ ，解得：，

∴點E2的坐標為（3，- ）.

綜上所述：點E的坐標為（3， ）；（3， ）；（3，- ）.