Question

【題目】（1）已知：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的外角平分線，交CB邊的延長線于點D．

求證：BD=AB+AC．

（2）對于任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分線，交CB邊的延長線于點D，如圖2，請你寫出線段AC、AB、BD之間的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）DB=AB+AC．

【解析】試題分析：（1）如圖，在AE上截取AF=AB，連接DF，先證明△ABD≌△AFD，可得DF=DB，∠DBA=∠DFA=90°，再利用等腰直角三角形的性質證得DF=FC，即可證得結論；（2）BD=AB+AC，如圖，在AE上截取AF=AB，連接DF，先證明△ABD≌△AFD，可得DF=DB，∠DBA=∠DFA，，再利用三角形外角的性質和已知條件證得∠C=∠FDC，根據等腰三角形的性質可得DF=FC，即可證得結論.

試題解析：

（1）如圖，在AE上截取AF=AB，連接DF.

∵AD是∠BAC的外角平分線，

∴∠BAD=∠DAE.

在△ABD和△AFD中，

,

∴△ABD≌△AFD，

∴DF=DB，∠DBA=∠DFA=90°，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠C=45°，

∴△FDC為等腰直角三角形，

∴DF=FC.

∴BD=FC=AF+AC=AB+AC.

（2）BD=AB+AC，理由如下：

如圖，在AE上截取AF=AB，連接DF.

∵AD是∠BAC的外角平分線，

∴∠BAD=∠DAE.

在△ABD和△AFD中，

,

∴△ABD≌△AFD，

∴DF=DB，∠DBA=∠DFA，

∴∠EFD=∠ABC，

∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠C+∠FDC，

∴∠C=∠FDC，

∴DF=FC.

∴BD=FC=AF+AC=AB+AC.