Question

【題目】如圖，拋物線的圖象經過點A（﹣2，0），點B（4，0），點D（2，4），與y軸交于點C，作直線BC，連接AC，CD．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）E是拋物線上的點，求滿足∠ECD=∠ACO的點E的坐標；

（3）點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線BC上，點P為第一象限內拋物線上一點，若以點C，M，N，P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（1，），（3，）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可．

（2）分①點E在直線CD上方的拋物線上和②點E在直線CD下方的拋物線上兩種情況，用三角函數求解即可；

（3）分①CM為菱形的邊和②CM為菱形的對角線，用菱形的性質進行計算；

試題解析：（1）∵拋物線的圖象經過點A（﹣2，0），點B（4，0），點D（2，4），∴設拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），∴﹣8a=4，∴a=，∴拋物線解析式為y=（x+2）（x﹣4），即；

（2）如圖1，①點E在直線CD上方的拋物線上，記E′，連接CE′，過E′作E′F′⊥CD，垂足為F′，由（1）知，OC=4，∵∠ACO=∠E′CF′，∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，∴=，設線段E′F′=h，則CF′=2h，∴點E′（2h，h+4）．∵點E′在拋物線上，∴，∴h=0（舍）h=，∴E′（1，），②點E在直線CD下方的拋物線上，記E，同①的方法得，E（3，），點E的坐標為（1，），（3，）；

（3）①CM為菱形的邊，如圖2，在第一象限內取點P′，過點

P′作P′N′∥y軸，交BC于N′，過點P′作P′M′∥BC，交y軸于M′，∴四邊形CM′P′N′是平行四邊形，∵四邊形CM′P′N′是菱形，∴P′M′=P′N′，過點P′作P′Q′⊥y軸，垂足為Q′，∵OC=OB，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，設點P′（m，），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，∵B（4，0），C（0，4），∴直線BC的解析式為y=﹣x+4，∵P′N′∥y軸，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′==，∴，∴m=0（舍）或m=，菱形CM′P′N′的邊長為=．

②CM為菱形的對角線，如圖3，在第一象限內拋物線上取點P，過點P作PM∥BC，交y軸于點M，連接CP，過點M作MN∥CP，交BC于N，∴四邊形CPMN是平行四邊形，連接PN交CM于點Q，∵四邊形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°，∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，設點P（n，），∴CQ=n，OQ=n+2，∴，∴n=0（舍），∴此種情況不存在，∴菱形的邊長為．