Question

【題目】如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．
求證：

（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∴∠A′DE=90°，

根據旋轉的方法可得：∠EA′D=45°，

∴∠A′ED=45°，

∴A′D=DE，

在△AA′D和△CED中

AD=CD

∠ADA′=∠EDC

A′D=ED∴△AA′D≌△CED（SAS）；

（2）

證明：∵根據旋轉可得AC=A′C，

∴點C在AA′的垂直平分線上，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠CAE=45°，

∵AC=A′C，CD=CB′，

∴AB′=A′D，

在△AEB′和△A′ED中

∠EAB′=∠EA′D

∠AEB′=∠A′ED

AB′=A′D

∴△AEB′≌△A′ED，

∴AE=A′E，

∴點E也在AA′的垂直平分線上，

∴直線CE是線段AA′的垂直平分線

【解析】（1）根據正方形的性質可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，則∠A′DE=90°，再計算出∠A′ED=45°，根據等角對等邊可得A′D=ED，即可利用SAS證明△AA′D≌△CED；（2）首先由AC=A′C，可得點C在AA′的垂直平分線上；再證明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，進而得到點E也在AA′的垂直平分線上，再根據兩點確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線．