Question

【題目】已知：等邊中．

（1）如圖1，點是的中點，點在邊上，滿足，求的值．

（2）如圖2，點在邊上（為非中點，不與、重合），點在的延長線上且，求證：．

（3）如圖3，點為邊的中點，點在的延長線上，點在的延長線上，滿足，求的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）先證明，與均為直角三角形，再根據直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半，證明BM=2BN，AB=2BM，最后轉化結論可得出BN與AN之間的數量關系即得；

（2）過點M作ME∥BC交AC于E，先證明AM=ME，再證明與全等，最后轉化邊即得；

（3）過點P作PM∥BC交AB于M，先證明M是AB的中點，再證明與全等，最后轉化邊即得．

（1）∵為等邊三角形，點是的中點

∴AM平分∠BAC，，

∴，

∵

∴，

∴

∴

∴在中，

在中，

∴

∴即．

（2）如下圖：

過點M作ME∥BC交AC于E

∴∠CME=∠MCB，∠AEM=∠ACB

∵是等邊三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=

∴，

∴，

∴AM=ME

∵

∴∠CME=∠MNB，MN=MC

∴在與中

∴

∴

∴

（3）如下圖：

過點P作PM∥BC交AB于M

∴

∵是等邊三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=，

∴

∴，，

∴是等邊三角形，

∴

∵P點是AC的中點

∴

∴

在與中

∴

∴

∴

∴．