Question

【題目】如圖，⊙是的外接圓，直線與相切于點，且．

（）求證： 平分．

（）作的平分線交于點，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）連接OD，由直線l與⊙O相切于點D可得出OD⊥l，結合l∥BC即可得出OD⊥BC，再根據垂徑定理即可得出弧BD=弧CD，進而可得出∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；

（2）由角平分線的定義結合（1）的結論即可得出∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE，再根據三角形外角的性質即可得出∠EBD=∠DEB，由此即可證出BD=DE．

試題解析：證明：（1）連接OD，如圖所示．

∵直線l與⊙O相切于點D，∴OD⊥l．

∵l∥BC，∴OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC；

（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．

又∵弧BD=弧CD，∴∠BAD=∠CBD，∴∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE．

又∵∠DEB=BAE+∠ABE，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE．