Question

【題目】已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放（點P與點B重合），點F，B（P），C在同一直線上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如圖②，△EFP從圖①的位置出發，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s，EP與AB交于點G；同時，點Q從點C出發，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s．過點Q作QM⊥BD，垂足為H，交AD于點M，連接AF，FQ，當點Q停止運動時，△EFQ也停止運動．設運動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥BD？
（2）設五邊形AFPQM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形AFPQM：S矩形ABCD=9：8？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點M在線段PG的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

當PQ∥BD時， = ，

∴ = ，

∴t= ，

∴t= s時，PQ∥BD．

（2）

解：如圖2中，

當0＜t＜6時，S五邊形AFPQM=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC

= （8+8﹣t+8）6﹣ （6﹣t） （6﹣t）﹣ （8﹣t）t

= t2﹣ t+ ．

（3）

解：如圖2中，

假設存在，則有（ t2﹣ t+ ．）：48=9：8，

解得t=2或18（舍棄），

∴t=2s時，S五邊形AFPQM：S矩形ABCD=9：8．

（4）

解：存在．

理由：如圖3中，連接MG、MP，作MK⊥BC于K．

易知：AG=6﹣ t．DQ=6﹣t，DM=KC= （6﹣t），PK=8﹣t﹣ （6﹣t），MK=CD=6，

∵點M在PG的垂直平分線上，

∴MG=MP，

∴AG2+AM2=PK2+MK2，

∴（6﹣ t）2+[8﹣ （6﹣t）]2=62+[8﹣t﹣ （6﹣t）]2，

解得t= 或0（舍棄），

∴t= s時，點M在線段PG的垂直平分線上

【解析】（1）如圖1中，當PQ∥BD時， = ，可得 = ，解方程即可；（2）如圖2中，當0＜t＜6時，S五邊形AFPQM=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC ， 由此計算即可解決問題；（3）假設存在，根據題意列出方程即可解決問題；（4）如圖3中，連接MG、MP，作MK⊥BC于K．理由勾股定理，根據MG=MP，列出方程即可解決問題；
【考點精析】掌握平行線分線段成比例是解答本題的根本，需要知道三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．