Question

已知二次函數。

（1）求證：不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點；
（2）設a<0，當此函數圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式；
（3）若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由。

Answer 1

解：（1）因為△=，
 所以不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點。
（2） 設x₁、x₂是的兩個根，
則，，
因為兩交點的距離是，
所以，
即：，
變形為：，
∴，
整理，得，
解得，，
又因為，
所以，
所以：此二次函數的解析式為。
（3）設點P的坐標為，因為函數圖象與x軸的兩個交點間的距離等于，
所以：AB=，
所以，S_△PAB=，
所以，，
即，則，
①當時，，即，
解得，=-2或3，
②當時，，即，
解得，=0或1，
綜上所述，所以存在這樣的P點，P點坐標是（-2，3），（3，3），（(0， -3）或（1， -3）。