Question

【題目】先閱讀材料，再結合要求回答問題．

【問題情景】

如圖①：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分別是BC，CD上的點，且線段BE，EF，FD滿足BE＋FD＝EF．試探究圖中∠EAF與∠BAD之間的數量關系．

【初步思考】

小王同學探究此問題的方法是：延長FD到G，使DG＝BE，連結AG．

先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，

可得出∠EAF與∠BAD之間的數量關系是 ．

【探索延伸】

若將問題情景中條件“∠B＝∠ADC＝90°”改為“∠B＋∠D＝180°”（如圖②），其余條件不變，請判斷上述數量關系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

【實際應用】

如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處且相距210海里．試求此時兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大小．

Answer 1

【答案】【初步思考】∠EAF＝∠BAD；【探索延伸】∠EAF ＝∠BAD仍然成立．證明見解析【實際應用】∠EAF＝70°．

【解析】

試題分析：【初步思考】根據條件△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，可得∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠GAF,然后根據角的和差關系可得∠EAF＝∠BAD；【探索延伸】類比【初步思考】中的探究方法可證∠EAF ＝∠BAD仍然成立；【實際應用】連接EF，延長AE、BF相交于點C，根據條件得出圖形符合探索延伸中的條件，然后可得∠EOF＝∠AOB，根據條件得出∠AOB＝140°，然后可得結論.

試題解析：【初步思考】∠EAF＝∠BAD；……………………………3分

【探索延伸】∠EAF ＝∠BAD仍然成立．……………………………4分

如圖，延長FD到G，使DG＝BE，連接AG．

∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，…………………5分

在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）．

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．

又∵EF＝BE＋DF，DG＝BE，∴EF＝DG＋DF＝GF．……………………6分

在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS）．

∴∠EAF＝∠GAF． ………………………………………………………7分

又∵∠GAF＝∠DAG＋∠DAF，∴∠EAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．

而∠EAF＋∠BAE＋∠DAF＝∠BAD，∴∠EAF ＝∠BAD．……………………8分

【實際應用】

如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C．

∵1.5小時后，艦艇甲行駛了90海里，艦艇乙行駛了120海里，

即AE＝90，BF＝120． ……………………………………………………… 9分

而EF＝210，∴在四邊形AOBC中，有EF＝AE＋BF．

又∵OA＝OB，且∠OAC＋∠OBC＝（90°－30°）＋（70°＋50°）＝180°，

∴符合探索延伸中的條件． ……………………………………………… 10分

∴∠EOF＝∠AOB． ……………………………………………………… 11分

又∵∠AOB＝30°＋90°＋（90°－70°）＝140°，

∴∠EAF＝∠AOB＝70°．…………………………………………………… 12分

答：此時兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大小為70°．