Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）求證：△ABC是直角三角形；

（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x；C（-1，-3）；（2）證明過程見解析；（3）（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）

【解析】

試題分析：（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；（2）分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結論；（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得=或=，可求得N點的坐標．

試題解析：（1）∵頂點坐標為（1，1）， ∴設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，

又拋物線過原點， ∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1， ∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1， 即y=﹣x2+2x，

聯立拋物線和直線解析式可得，解得或，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，

則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3， ∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°， ∴△ABC是直角三角形；

（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），

∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|， 由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=，BC=3，

∵MN⊥x軸于點N ∴∠ABC=∠MNO=90°， ∴當△ABC和△MNO相似時有=或=，

①當=時，則有=，即|x||﹣x+2|=|x|，

∵當x=0時M、O、N不能構成三角形， ∴x≠0， ∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，

此時N點坐標為（，0）或（，0）；

②當=時，則有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，

∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1， 此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0），

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．